محاسبات آمار و احتمال

سه نوع میانگین — حسابی، هندسی و همساز

وقتی می‌گوییم «میانگین»، معمولاً منظورمان میانگین حسابی است: مجموع داده‌ها تقسیم بر تعدادشان. میانگین حسابی نمرات ۱۴، ۱۶ و ۱۸ برابر است با (۱۴ + ۱۶ + ۱۸) ÷ ۳ = ۱۶. این میانگین برای داده‌های جمع‌پذیر مثل نمره، قد و درآمد مناسب است، اما تنها گزینه نیست.

میانگین هندسی — مخصوص نرخ‌های رشد

میانگین هندسی n عدد، ریشهٔ nام حاصل‌ضرب آن‌هاست و جایی به‌کار می‌آید که داده‌ها در هم ضرب می‌شوند؛ مثل نرخ رشد سرمایه یا تورم. فرض کنید سرمایه‌ای یک سال ۲۰٪ رشد کند (ضریب ۱٫۲) و سال بعد ۸۰٪ (ضریب ۱٫۸). میانگین هندسی ضریب‌ها برابر √(۱٫۲ × ۱٫۸) = √۲٫۱۶ ≈ ۱٫۴۷ است؛ یعنی رشد متوسط سالانه حدود ۴۷٪ — نه ۵۰٪ که میانگین حسابی می‌گوید. برای محاسبات سود سپرده نیز می‌توانید از ابزار محاسبه سود سپرده استفاده کنید.

میانگین همساز — مخصوص نرخ‌ها و سرعت‌ها

میانگین همساز برابر است با تعداد داده‌ها تقسیم بر مجموع معکوس‌هایشان و برای میانگین‌گیری از نرخ‌هایی مثل سرعت به‌کار می‌رود. مثال کلاسیک: اگر مسیری را با سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت بروید و همان مسیر را با سرعت ۴۰ برگردید، سرعت متوسط شما ۵۰ نیست؛ بلکه ۲ ÷ (۱/۶۰ + ۱/۴۰) = ۴۸ کیلومتر بر ساعت است، چون در سرعت کمتر زمان بیشتری در راه بوده‌اید. همیشه رابطهٔ «همساز ≤ هندسی ≤ حسابی» برقرار است.

میانگین وزن‌دار — محاسبه معدل با مثال کامل

در میانگین حسابی ساده، همهٔ داده‌ها هم‌ارزش‌اند؛ اما گاهی بعضی داده‌ها «مهم‌تر»ند. در میانگین وزن‌دار، هر داده در وزن خودش ضرب می‌شود و مجموع حاصل بر مجموع وزن‌ها تقسیم می‌گردد. آشناترین نمونه، معدل دانشگاه است که وزن هر نمره، تعداد واحد آن درس است.

فرض کنید کارنامهٔ یک ترم چنین باشد:

1. ضرب هر نمره در واحد

   ستون آخر جدول: ۵۱، ۲۸، ۷۶ و ۱۶.

2. جمع حاصل‌ضرب‌ها و جمع واحدها

   مجموع نمره×واحد برابر ۵۱ + ۲۸ + ۷۶ + ۱۶ = ۱۷۱ و مجموع واحدها ۳ + ۲ + ۴ + ۱ = ۱۰.

3. تقسیم نهایی

   معدل ترم برابر است با ۱۷۱ ÷ ۱۰ = ۱۷٫۱۰. اگر میانگین سادهٔ نمره‌ها را می‌گرفتیم ۱۶٫۵ می‌شد؛ درس ۴ واحدی با نمرهٔ ۱۹ معدل را بالا کشیده است.

واریانس و انحراف معیار — سنجش پراکندگی داده‌ها

دو کلاس را تصور کنید که میانگین نمرهٔ هر دو ۱۵ است؛ در یکی همه بین ۱۴ و ۱۶ گرفته‌اند و در دیگری نمره‌ها از ۵ تا ۲۰ پخش است. میانگین به‌تنهایی این تفاوت را نشان نمی‌دهد؛ این‌جاست که واریانس و انحراف معیار وارد می‌شوند.

واریانس، میانگینِ مربعِ فاصلهٔ هر داده از میانگین است و انحراف معیار جذر واریانس. چون واحد واریانس «مجذور» واحد داده‌هاست (مثلاً نمرهٔ به توان ۲!)، در گزارش‌ها معمولاً انحراف معیار را می‌خوانیم که هم‌واحد خود داده‌هاست.

جامعه یا نمونه؟ تقسیم بر n یا n−1

یک مثال کوتاه: داده‌های ۲، ۴، ۶ و ۸ را در نظر بگیرید؛ میانگین ۵ است. مربع فاصله‌ها از میانگین برابر ۹، ۱، ۱ و ۹ و مجموعشان ۲۰ است. واریانس جامعه ۲۰ ÷ ۴ = ۵ و واریانس نمونه ۲۰ ÷ ۳ ≈ ۶٫۶۷ می‌شود؛ انحراف معیار به‌ترتیب √۵ ≈ ۲٫۲۴ و √۶٫۶۷ ≈ ۲٫۵۸. هرچه تعداد داده‌ها بیشتر شود، تفاوت این دو ناچیزتر می‌شود.

میانه و مد — وقتی میانگین گمراه‌کننده است

میانه عددی است که پس از مرتب‌سازی داده‌ها دقیقاً وسط می‌ایستد؛ نیمی از داده‌ها از آن کوچک‌تر و نیمی بزرگ‌ترند. در دادهٔ پنج‌تایی ۳، ۷، ۸، ۱۲ و ۵۰ میانه برابر ۸ است. اگر تعداد داده‌ها زوج باشد، میانگین دو مقدار وسط را می‌گیریم.

نقطهٔ قوت میانه، مقاومتش در برابر داده‌های پرت است. در همان مثال، میانگین حسابی برابر ۱۶ است که به‌خاطر عدد ۵۰ به بالا کشیده شده؛ اما میانه هم‌چنان ۸ می‌ماند. برای همین در گزارش درآمد خانوارها تقریباً همیشه «درآمد میانه» ملاک است نه میانگین، چون چند درآمد نجومی می‌تواند میانگین را از واقعیت اکثریت دور کند.

مد (نما) نیز پرتکرارترین مقدار مجموعه است. در داده‌های ۲، ۳، ۳، ۵ و ۷ مد برابر ۳ است. یک مجموعه ممکن است دو مد داشته باشد (دومدی) یا اصلاً مد نداشته باشد. مد تنها شاخص مرکزی است که برای داده‌های غیرعددی هم معنا دارد؛ مثلاً «پرفروش‌ترین رنگ خودرو».

دامنه تغییرات — ساده‌ترین شاخص پراکندگی

دامنهٔ تغییرات تفاضل بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده است: R = Max − Min. اگر دمای هوای یک هفته بین ۱۲ تا ۲۷ درجه نوسان کرده باشد، دامنه برابر ۲۷ − ۱۲ = ۱۵ درجه است. محاسبهٔ دامنه فوری است، اما فقط به دو مقدار حدی نگاه می‌کند و از توزیع بقیهٔ داده‌ها بی‌خبر است؛ یک دادهٔ پرت کافی است تا دامنه را به‌کلی عوض کند. به همین دلیل دامنه بیشتر برای نگاه اولیه به داده‌ها به‌کار می‌رود و برای تحلیل جدی، انحراف معیار معیار دقیق‌تری است.

کدام شاخص را کی استفاده کنیم؟

ابزار آمار پیشخوانک همهٔ این شاخص‌ها را هم‌زمان از روی یک لیست داده محاسبه می‌کند: کافی است اعداد را با ویرگول یا فاصله وارد کنید تا میانگین‌های سه‌گانه، میانگین وزن‌دار، واریانس و انحراف معیار (هر دو حالت جامعه و نمونه)، میانه، مد و دامنه را یک‌جا ببینید.

ابزارهای ریاضی مرتبط در پیشخوانک