ماشین حساب ماتریس

ماتریس چیست؟ آرایش منظم اعداد

ماتریس جدولی مستطیلی از اعداد است که در سطرها و ستون‌های منظم چیده شده‌اند. ماتریسی با m سطر و n ستون را ماتریس m×n می‌نامیم و به هر عدد داخل آن یک درایه می‌گوییم؛ درایهٔ a_ij یعنی عددی که در سطر iام و ستون jام قرار دارد. مثلاً یک ماتریس ۲×۳ دو سطر و سه ستون دارد و در مجموع ۶ درایه.

چند ماتریس خاص را باید بشناسید: ماتریس مربعی که تعداد سطر و ستونش برابر است، ماتریس همانی (I) که روی قطر اصلی‌اش ۱ و بقیهٔ درایه‌هایش صفر است و در ضرب ماتریسی همان نقش عدد ۱ را بازی می‌کند، و ماتریس صفر که همهٔ درایه‌هایش صفرند. ابزار ماتریس پیشخوانک همهٔ عملیات اصلی — جمع، تفریق، ضرب، ترانهاده، دترمینان و معکوس — را برای ماتریس‌های تا ابعاد ۴×۴ به‌صورت رایگان انجام می‌دهد.

جمع و ضرب ماتریس‌ها — شرط ابعاد را فراموش نکنید

جمع و تفریق

دو ماتریس فقط وقتی با هم جمع (یا از هم کم) می‌شوند که هم‌بعد باشند؛ یعنی تعداد سطرها و ستون‌هایشان دقیقاً برابر باشد. جمع درایه‌به‌درایه انجام می‌شود: درایهٔ سطر اول ستون اولِ حاصل، برابر مجموع درایه‌های متناظر دو ماتریس است. مثلاً اگر درایهٔ متناظر دو ماتریس ۳ و ۵ باشد، درایهٔ حاصل ۸ می‌شود.

ضرب ماتریسی

ضرب اما داستان متفاوتی دارد. حاصل‌ضرب A×B فقط زمانی تعریف می‌شود که تعداد ستون‌های A با تعداد سطرهای B برابر باشد. اگر A از مرتبهٔ m×n و B از مرتبهٔ n×p باشد، حاصل ماتریسی m×p خواهد بود. درایهٔ سطر i و ستون j حاصل، از ضرب نظیربه‌نظیر سطر iام A در ستون jام B و جمع نتایج به‌دست می‌آید.

یک مثال عددی کوچک: اگر سطر اول ماتریس A برابر (۱ و ۲) و ستون اول ماتریس B برابر (۳ و ۴) باشد، درایهٔ اول حاصل‌ضرب برابر است با ۱ × ۳ + ۲ × ۴ = ۱۱.

ترانهاده — جای سطر و ستون را عوض کنید

ترانهادهٔ ماتریس A که با A^T نشان داده می‌شود، از تبدیل سطرها به ستون‌ها به‌دست می‌آید: سطر اول A ستون اول A^T می‌شود و به همین ترتیب. پس ترانهادهٔ یک ماتریس ۲×۳، ماتریسی ۳×۲ است. اگر ماتریسی با ترانهاده‌اش برابر باشد (A = A^T) به آن ماتریس متقارن می‌گوییم؛ این ماتریس‌ها در آمار (ماتریس کوواریانس) و فیزیک نقش پررنگی دارند.

دو خاصیت پرکاربرد ترانهاده را به‌خاطر بسپارید: ترانهادهٔ ترانهاده خود ماتریس است و ترانهادهٔ حاصل‌ضرب، حاصل‌ضرب ترانهاده‌ها با ترتیب برعکس است: (AB)^T = B^TA^T.

دترمینان — عددی که سرنوشت ماتریس را تعیین می‌کند

دترمینان عددی است که فقط برای ماتریس‌های مربعی تعریف می‌شود و اطلاعات مهمی دربارهٔ ماتریس می‌دهد؛ از وارون‌پذیری گرفته تا تعداد جواب‌های دستگاه معادلات. از نظر هندسی، قدر مطلق دترمینان ۲×۲ برابر مساحت متوازی‌الاضلاعی است که بردارهای سطری ماتریس می‌سازند.

دترمینان ماتریس ۲×۲

برای ماتریسی با سطر اول (a و b) و سطر دوم (c و d)، دترمینان از رابطهٔ det = ad − bc به‌دست می‌آید. مثال: ماتریسی با سطر اول (۳ و ۵) و سطر دوم (۱ و ۴) را در نظر بگیرید؛ دترمینان برابر است با ۳ × ۴ − ۵ × ۱ = ۱۲ − ۵ = ۷.

دترمینان ماتریس ۳×۳ با مثال

برای ماتریس ۳×۳ معمولاً از بسط لاپلاس روی سطر اول استفاده می‌کنیم: هر درایهٔ سطر اول در دترمینان ۲×۲ باقی‌مانده (کهاد آن درایه) ضرب می‌شود و علامت‌ها یک‌درمیان مثبت و منفی‌اند. بیایید دترمینان ماتریسی با سطرهای (۲، ۰، ۱)، (۳، ۱، ۲) و (۱، ۴، ۰) را حساب کنیم:

1. سهم درایه اول (۲)

   کهاد آن، دترمینان سطرهای (۱، ۲) و (۴، ۰) است: ۱ × ۰ − ۲ × ۴ = −۸؛ پس سهم این جمله ۲ × (−۸) = −۱۶.

2. سهم درایه دوم (۰)

   چون خود درایه صفر است، سهم این جمله هرچه باشد صفر می‌شود — انتخاب سطر یا ستونی که صفر بیشتری دارد محاسبه را کوتاه می‌کند.

3. سهم درایه سوم (۱)

   کهاد آن، دترمینان سطرهای (۳، ۱) و (۱، ۴) است: ۳ × ۴ − ۱ × ۱ = ۱۱؛ با علامت مثبت، سهم برابر ۱ × ۱۱ = ۱۱.

4. جمع نهایی

   det = −۱۶ + ۰ + ۱۱ = −۵. چون دترمینان مخالف صفر است، این ماتریس وارون‌پذیر است.

ماتریس معکوس و شرط وارون‌پذیری

معکوس ماتریس A که با A⁻¹ نمایش داده می‌شود، ماتریسی است که حاصل‌ضربش در A ماتریس همانی شود: A × A⁻¹ = I. شرط وجود معکوس ساده و قاطع است:

برای ماتریس ۲×۲ فرمول معکوس ساده است: جای درایه‌های قطر اصلی عوض می‌شود، علامت دو درایهٔ دیگر منفی می‌شود و همهٔ درایه‌ها بر دترمینان تقسیم می‌شوند. برای ابعاد بزرگ‌تر معمولاً از روش الحاق ماتریس همانی و عملیات سطری (گاوس–جردن) استفاده می‌شود که محاسبهٔ دستی آن پرزحمت است؛ ابزار پیشخوانک این کار را در لحظه انجام می‌دهد.

مهم‌ترین کاربرد معکوس، حل دستگاه معادلات خطی است: دستگاه AX = B جواب یکتای X = A⁻¹B دارد، به شرط آن‌که دترمینان ماتریس ضرایب صفر نباشد. برای حل مستقیم دستگاه‌ها می‌توانید از ابزار حل معادله نیز استفاده کنید که روش حذف گاوسی را برایتان اجرا می‌کند.

کاربردهای ماتریس — از بازی‌های رایانه‌ای تا اقتصاد

ماتریس فقط یک ابزار انتزاعی ریاضی نیست؛ در دل بسیاری از فناوری‌های روزمره حضور دارد:

ابزارهای ریاضی مرتبط در پیشخوانک