محاسبه مساحت، محیط و حجم اشکال هندسی
محاسبه آنلاین مساحت، محیط و حجم اشکال هندسی: دایره، مثلث، مربع، ذوزنقه، کره، استوانه، مخروط…
همه اندازهها باید با یک واحد وارد شوند؛ نتیجه مساحت با مربعِ همان واحد و حجم با مکعبِ آن است. محیط بیضی با تقریب رامانوجان محاسبه میشود و همه محاسبات در مرورگر شما انجام میشود.
فرمولهای مساحت و محیط اشکال دوبعدی
مساحت اندازهٔ سطحی است که یک شکل اشغال میکند و محیط طول مرز دور آن. این دو مفهوم پایهٔ هر محاسبهٔ هندسیاند؛ از متراژ کاشی و سرامیک گرفته تا طول نردهٔ دور باغچه. جدول زیر پرکاربردترین فرمولها را یکجا جمع کرده است:
| شکل | مساحت | محیط |
|---|---|---|
| مربع (ضلع a) | a2 | 4a |
| مستطیل (طول a، عرض b) | a × b | 2(a + b) |
| مثلث (قاعده b، ارتفاع h) | ½ × b × h | مجموع سه ضلع |
| دایره (شعاع r) | πr2 | 2πr |
| ذوزنقه (دو ساق موازی a و b، ارتفاع h) | ½ × (a + b) × h | مجموع چهار ضلع |
| متوازیالاضلاع (قاعده b، ارتفاع h) | b × h | 2(a + b) |
| لوزی (قطرهای d₁ و d₂) | ½ × d₁ × d₂ | 4a |
یک مثال سریع: مساحت ذوزنقهای با ساقهای موازی ۶ و ۱۰ سانتیمتر و ارتفاع ۴ سانتیمتر برابر است با ½ × (۶ + ۱۰) × ۴ = ۳۲ سانتیمتر مربع. دقت کنید واحد مساحت همیشه «مربع» واحد طول است؛ خطای رایج دانشآموزان همین جابهجایی واحدهاست.
عدد پی (π) — ثابت جادویی دایره
در همهٔ فرمولهای دایره، کره و استوانه پای عدد π در میان است. پی نسبت محیط هر دایره به قطر آن است و برای همهٔ دایرههای عالم — از حلقهٔ انگشتر تا مدار سیارات — مقدار ثابتی دارد: تقریباً ۳٫۱۴۱۵۹. عدد پی گنگ است؛ یعنی رقمهای اعشارش هرگز تمام نمیشوند و الگوی تکرارشوندهای هم ندارند. برای محاسبات مدرسهای تقریب ۳٫۱۴ کافی است؛ ابزار پیشخوانک از دقت اعشاری بالاتری استفاده میکند تا خطای گرد کردن به حداقل برسد.
مثال عددی دایره
دایرهای به شعاع ۵ سانتیمتر: مساحت برابر π × ۵۲ ≈ ۷۸٫۵۴ سانتیمتر مربع و محیط برابر ۲ × π × ۵ ≈ ۳۱٫۴۲ سانتیمتر.
فرمول هرون — مساحت مثلث بدون دانستن ارتفاع
فرمول ½ × قاعده × ارتفاع زمانی بهکار میآید که ارتفاع مثلث را بدانیم؛ اما اغلب فقط طول سه ضلع را داریم. اینجاست که فرمول هرون، منسوب به هرون اسکندرانی، به کمک میآید. اگر اضلاع مثلث a و b و c و نصف محیط آن s = (a + b + c) ÷ 2 باشد:
A = √( s(s−a)(s−b)(s−c) )
بیایید فرمول را روی مشهورترین مثلث دنیا، مثلث ۳-۴-۵، امتحان کنیم:
-
محاسبه نصف محیط
s = (۳ + ۴ + ۵) ÷ ۲ = ۶
-
محاسبه سه تفاضل
s − a = ۶ − ۳ = ۳؛ s − b = ۶ − ۴ = ۲؛ s − c = ۶ − ۵ = ۱
-
جایگذاری و جذر
A = √(۶ × ۳ × ۲ × ۱) = √۳۶ = ۶ واحد مربع.
-
راستیآزمایی
مثلث ۳-۴-۵ قائمالزاویه است (۳۲ + ۴۲ = ۵۲)، پس مساحتش ½ × ۳ × ۴ = ۶ هم میشود — دو روش به یک جواب میرسند.
فرمول هرون برای نقشهبرداران و مساحان زمین ابزار روزمره است: کافی است سه ضلع قطعهزمین مثلثیشکل متر شود تا مساحت بدون هیچ اندازهگیری ارتفاعی بهدست آید.
حجم احجام سهبعدی — کره، استوانه، مخروط و بیشتر
حجم مقدار فضایی است که یک جسم اشغال میکند و واحد آن «مکعبِ» واحد طول است (سانتیمتر مکعب، متر مکعب یا لیتر). فرمولهای اصلی را در جدول زیر ببینید:
| حجم هندسی | فرمول حجم | مساحت کل سطح |
|---|---|---|
| مکعب (ضلع a) | a3 | 6a2 |
| مکعبمستطیل (a، b، c) | a × b × c | 2(ab + bc + ac) |
| کره (شعاع r) | 4⁄3 × πr3 | 4πr2 |
| استوانه (شعاع r، ارتفاع h) | πr2h | 2πr(r + h) |
| مخروط (شعاع r، ارتفاع h) | ⅓ × πr2h | πr(r + l) |
| هرم (مساحت قاعده B، ارتفاع h) | ⅓ × B × h | قاعده + سطوح جانبی |
به یک الگوی زیبا دقت کنید: حجم مخروط دقیقاً یکسوم حجم استوانهٔ همقاعده و همارتفاع خودش است؛ همانطور که حجم هرم یکسوم منشور متناظر است. مثال عددی: یک مخزن استوانهای با شعاع ۳ متر و ارتفاع ۲ متر، π × ۹ × ۲ ≈ ۵۶٫۵۵ متر مکعب یعنی حدود ۵۶٬۵۰۰ لیتر گنجایش دارد. برای یک توپ فوتبال با شعاع ۱۱ سانتیمتر نیز حجم برابر 4⁄3 × π × ۱۱۳ ≈ ۵٬۵۷۵ سانتیمتر مکعب است.
این فرمولها به چه درد زندگی روزمره میخورند؟
متراژ کاشی، سرامیک، رنگ دیوار و کفپوش با مساحت محاسبه میشود؛ خرید کم یا زیاد مصالح یعنی هزینهٔ اضافه.
گنجایش منبع آب، استخر و تانکر با فرمول حجم استوانه و مکعبمستطیل به لیتر تبدیل میشود.
برآورد پارچه، چرم یا ورق فلز برای برش، مستقیم به محاسبهٔ مساحت الگوها وابسته است.
مساحت قطعهزمینهای نامنظم را میتوان به مثلثها تقسیم و با فرمول هرون جمع زد.
ابزار اشکال هندسی پیشخوانک همهٔ این فرمولها را پیادهسازی کرده است: شکل را انتخاب کنید، اندازهها را وارد کنید و مساحت، محیط یا حجم را فوری بگیرید — بدون نگرانی از جابهجایی فرمولها یا خطای ماشینحسابی.
محاسبات هندسی بدون فرمول حفظکردن
مرکز ابزارهای رایگان پیشخوانک — ریاضی، مالی، تاریخ و زمان؛ همه در یکجا.
مشاهده همه ابزارها