ماشین حساب اعداد مختلط
محاسبات اعداد مختلط به صورت آنلاین: چهار عمل اصلی، مزدوج، اندازه، آرگومان و تبدیل بین نمایش…
خروجی به دو صورت جبری (a+bi) و قطبی (r∠θ) نمایش داده میشود؛ آرگومان θ هم به درجه و هم به رادیان محاسبه میشود. اگر فیلدی خالی بماند، مقدار آن صفر در نظر گرفته میشود.
ماشینحساب اعداد مختلط؛ محاسبه با اعدادی که «موهومی» نیستند
در ریاضیات دبیرستان یاد گرفتیم که جذر عدد منفی «تعریفنشده» است؛ اما ریاضیدانان قرنها پیش راهحل زیبایی پیدا کردند: عددی به نام i تعریف کردند که مجذور آن برابر ۱− است (i² = −1). با همین یک تعریف، دنیای تازهای از اعداد به نام اعداد مختلط ساخته شد؛ اعدادی به شکل a + bi که از یک بخش حقیقی (a) و یک بخش موهومی (b) تشکیل شدهاند. برخلاف اسمشان، این اعداد اصلاً خیالی نیستند: تحلیل مدارهای برق متناوب، پردازش سیگنال، مخابرات و مکانیک کوانتوم بدون آنها ممکن نیست.
ماشینحساب اعداد مختلط پیشخوانک چهار عمل اصلی، مزدوج، اندازه، آرگومان و نمایش قطبی را برای هر دو عدد مختلط دلخواه محاسبه میکند — ابزاری رایگان برای دانشجویان برق، ریاضی، فیزیک و همه کسانی که با فازورها سروکار دارند.
راهنمای استفاده از ماشینحساب اعداد مختلط
-
عدد مختلط اول را وارد کنید
بخش حقیقی و بخش موهومی را در دو فیلد جداگانه بنویسید؛ مثلاً برای ۳+۲i عدد ۳ را در بخش حقیقی و ۲ را در بخش موهومی وارد کنید. اعداد منفی و اعشاری هم مجازند.
-
عدد مختلط دوم را وارد کنید
برای عملیات دوتایی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) عدد دوم لازم است؛ برای مزدوج، اندازه و آرگومان همان عدد اول کافی است.
-
عملیات را انتخاب کنید
یکی از عملها را برگزینید: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، مزدوج، اندازه، آرگومان یا نمایش قطبی.
-
نتیجه را در هر دو نمایش ببینید
خروجی هم بهصورت جبری (a + bi) و هم در قالب قطبی نمایش داده میشود تا مستقیماً در تمرین یا گزارش آزمایشگاه استفاده کنید.
چهار عمل اصلی روی اعداد مختلط با مثال
قواعد محاسبه با اعداد مختلط سادهاند؛ فقط باید یادمان باشد هر جا i² ظاهر شد، آن را با ۱− جایگزین کنیم. فرض کنید z₁ = 3 + 2i و z₂ = 1 − 4i:
| عمل | قاعده | مثال با z₁ و z₂ |
|---|---|---|
| جمع | جمع جداگانه بخشهای حقیقی و موهومی | (۳+۱) + (۲−۴)i = 4 − 2i |
| تفریق | تفریق جداگانه بخشها | (۳−۱) + (۲+۴)i = 2 + 6i |
| ضرب | پخشکردن مثل اتحادها و جایگذاری i² = −1 | 3 − 12i + 2i − 8i² = 11 − 10i |
| تقسیم | ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج | z₁ ÷ (1 − i) = 0.5 + 2.5i |
مثال ضرب را قدمبهقدم ببینیم: برای محاسبه (۳+۲i)(۱−۴i) هر جمله را در هر جمله ضرب میکنیم: ۳×۱ = ۳، سپس ۳×(−۴i) = −۱۲i، بعد ۲i×۱ = ۲i و در آخر ۲i×(−۴i) = −۸i². چون i² برابر ۱− است، جمله آخر ۸+ میشود. جمع همه: ۳ + ۸ = ۱۱ برای بخش حقیقی و −۱۲ + ۲ = −۱۰ برای بخش موهومی؛ پس نتیجه 11 − 10i است — دقیقاً همان چیزی که ابزار در کسری از ثانیه تحویل میدهد.
خطای رایج در تقسیم
نمیتوان صورت و مخرج را جداجدا تقسیم کرد! راه درست، ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج است تا مخرج حقیقی شود. ابزار این مسیر را خودکار طی میکند، اما در امتحان حتماً همین روش را بنویسید.
مزدوج، اندازه و آرگومان؛ سه مفهوم کلیدی
مزدوج عدد مختلط z = a + bi یعنی z̄ = a − bi؛ فقط علامت بخش موهومی عوض میشود. مزدوج در تقسیم و در محاسبه توان سیگنالها نقش اساسی دارد، چون حاصلضرب هر عدد در مزدوجش همیشه حقیقی و نامنفی است: z × z̄ = a² + b².
اندازه (قدر مطلق) فاصله عدد از مبدأ صفحه مختلط است و از قضیه فیثاغورس بهدست میآید: |z| = √(a² + b²). مثلاً اندازه ۳+۴i برابر است با جذر (۹+۱۶) یعنی ۵.
آرگومان زاویهای است که بردار عدد با محور حقیقی مثبت میسازد: θ = arctan(b ÷ a) (با توجه به ربع مختصات). برای همان ۳+۴i آرگومان برابر arctan(۴÷۳) یعنی حدود ۵۳٫۱۳ درجه است. زوج «اندازه و آرگومان» همان چیزی است که مهندسان برق آن را فازور مینامند.
نمایش قطبی؛ وقتی ضرب و تقسیم آسان میشود
هر عدد مختلط را میتوان بهجای a + bi با اندازه و زاویهاش نوشت:
شکل قطبی و فرمول اویلر
z = r(cos θ + i·sin θ) = r·eiθ
که در آن r اندازه و θ آرگومان است. مثال: ۳+۴i در شکل قطبی میشود 5∠53.13°.
زیبایی شکل قطبی در ضرب و تقسیم است: برای ضرب دو عدد، اندازهها را ضرب و زاویهها را جمع میکنیم؛ برای تقسیم، اندازهها را تقسیم و زاویهها را کم میکنیم. مثلاً حاصلضرب 2∠30° در 3∠45° بدون هیچ اتحاد و پخشکردنی برابر 6∠75° است. به همین دلیل توانرسانی اعداد مختلط (قضیه دموآور) و تحلیل مدارهای AC تقریباً همیشه در شکل قطبی انجام میشود. ابزار پیشخوانک هر دو نمایش را همزمان به شما میدهد.
از کاردانو تا گاوس؛ اعدادی که ابتدا کسی جدیشان نمیگرفت
اعداد مختلط در قرن شانزدهم میلادی و در تلاش ریاضیدانان ایتالیایی برای حل معادلات درجه سه ظاهر شدند؛ کاردانو در محاسباتش به جذر اعداد منفی برخورد و آنها را «کمیتهای سفسطهآمیز» نامید. لقب «موهومی» را دکارت با لحنی تحقیرآمیز به این اعداد داد، اما اویلر با فرمول مشهورش و سپس گاوس با تفسیر هندسی صفحه مختلط نشان دادند این اعداد بهاندازه اعداد حقیقی واقعی و کاربردیاند. نتیجه نهایی، قضیه اساسی جبر بود: هر چندجملهای درجه n دقیقاً n ریشه در مجموعه اعداد مختلط دارد؛ یعنی با ورود i، دیگر هیچ معادله چندجملهای «بیجواب» نمیماند.
اعداد مختلط به چه درد میخورند؟
در مدارهای جریان متناوب، ولتاژ و جریان با فازور (عدد مختلط) نمایش داده میشوند و امپدانس مقاومت، سلف و خازن با هم در قالب Z = R + jX جمع میشود. (برقیها بهجای i از j استفاده میکنند تا با نماد جریان اشتباه نشود.)
تبدیل فوریه که پایه فشردهسازی صدا و تصویر و مدولاسیون رادیویی است، سیگنال را به مجموعهای از اعداد مختلط تجزیه میکند؛ اندازه یعنی دامنه هر فرکانس و آرگومان یعنی فاز آن.
پایداری سیستمهای کنترلی از محل ریشههای مختلط معادله مشخصه تعیین میشود؛ بخش حقیقی میرایی و بخش موهومی فرکانس نوسان را نشان میدهد.
از حل معادلات درجه دو با دلتای منفی تا توابع موج در مکانیک کوانتوم، اعداد مختلط زبان مشترک ریاضیات پیشرفتهاند.
برای محاسبات عددی معمولیتر، ماشینحساب آنلاین ساده و مهندسی پیشخوانک را ببینید؛ اگر هم دنبال محاسبات مالی هستید، محاسبه اقساط وام و محاسبه سود سپرده در همین مجموعه ابزارها در دسترساند.
محاسبات که تمام شد، سراغ کارهای بانکیتان بیایید
پیشخوانک فقط ابزار محاسبه نیست؛ دهها خدمت استعلام بانکی رسمی هم اینجاست. با اعتبارسنجی بانکی، رتبه اعتباری و سابقه تسهیلات خود را از سامانه رسمی دریافت کنید.
دریافت رتبه اعتبارییا شماره شبا حساب خود را با تبدیل شبا به حساب استعلام بگیرید.
پرسشهای متداول
عدد مختلط چیست و i یعنی چه؟
عدد مختلط عددی به شکل a + bi است که a بخش حقیقی و b بخش موهومی آن است. حرف i عددی تعریفشده است که مجذورش برابر ۱- میشود؛ همین تعریف ساده، جذر گرفتن از اعداد منفی و حل هر معادله درجه دو را ممکن میکند.
دو عدد مختلط را چطور ضرب کنیم؟
مثل اتحادها پخش میکنیم و هر جا i² دیدیم آن را با ۱- عوض میکنیم. مثلاً (۳+۲i)(۱−۴i) برابر میشود با ۳ − ۱۲i + ۲i − ۸i² که پس از جایگذاری، نتیجه ۱۱ − ۱۰i است. ابزار پیشخوانک این محاسبه را همراه با شکل قطبی نتیجه به شما میدهد.
مزدوج عدد مختلط چیست و به چه دردی میخورد؟
مزدوج z = a + bi یعنی a − bi؛ فقط علامت بخش موهومی برعکس میشود. مهمترین کاربردش در تقسیم است: صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب میکنیم تا مخرج حقیقی شود. ضرب هر عدد در مزدوجش همیشه عددی حقیقی برابر a² + b² است.
اندازه و آرگومان عدد مختلط چگونه محاسبه میشود؟
اندازه از قضیه فیثاغورس بهدست میآید: جذر (a² + b²)؛ مثلاً اندازه ۳+۴i برابر ۵ است. آرگومان زاویه بردار با محور حقیقی است و از arctan(b ÷ a) با توجه به ربع مختصات محاسبه میشود؛ برای ۳+۴i حدود ۵۳٫۱ درجه.
نمایش قطبی چه مزیتی دارد؟
در شکل قطبی z = r∠θ، ضرب و تقسیم بسیار ساده میشود: اندازهها ضرب یا تقسیم و زاویهها جمع یا تفریق میشوند. به همین دلیل توانرسانی (قضیه دموآور) و تحلیل مدارهای جریان متناوب تقریباً همیشه در شکل قطبی انجام میشود.
اعداد مختلط در مهندسی برق چه کاربردی دارند؟
ولتاژ و جریان متناوب با فازور (عدد مختلط) نمایش داده میشوند و امپدانس مقاومت، سلف و خازن در قالب Z = R + jX با هم جمع میشود. مهندسان برق بهجای i از j استفاده میکنند تا با نماد جریان اشتباه نشود. تبدیل فوریه در پردازش سیگنال هم کاملاً بر اعداد مختلط استوار است.
آیا این ماشینحساب برای دانشجویان رایگان است؟
بله، استفاده از آن کاملاً رایگان و بدون ثبتنام است. چهار عمل اصلی، مزدوج، اندازه، آرگومان و نمایش قطبی را پشتیبانی میکند و نتیجه را در هر دو نمایش جبری و قطبی نشان میدهد؛ برای تمرین درس ریاضی مهندسی و مدارهای الکتریکی ایدهآل است.
